【題目】在數(shù)列
中，
，且對任意
，
成等差數(shù)列，其公差為
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，證明
成等比數(shù)列（）；
（3）若對任意，成等比數(shù)列，其公比為
，設(shè)
，證明數(shù)列
是等差數(shù)列.
【答案】（1）
，
.（2）見證明；（3）見證明；
【解析】
（1）由
成等差數(shù)列且公差為2可計算
的值.
（2）由
可得
，再根據(jù)
得到
，從而可證
成等比數(shù)列.
（3）利用成等比數(shù)列且公比為
可得
，對該遞推關(guān)系變形后可得
為等差數(shù)列.
（1）因為對任意
，
成等差數(shù)列，
所以當(dāng)
時，成等差數(shù)列且公差為2，
故
，故
.
（2）證明：由題設(shè)，可得，.所以
，
由
得，，
從而
，所以
.
于是
，
所以當(dāng)
時，對任意的，成等比數(shù)列.
（3）由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，
可得
，所以
，
當(dāng)
時，可知
，，
從而
，即
，
所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知
是半圓
的直徑，
，
是將半圓圓周四等分的三個分點．
（1）從
這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；
（2）在半圓內(nèi)任取一點
，求
的面積大于
的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在寬為
的路邊安裝路燈，燈柱
高為
，燈桿
是半徑為
的圓
的一段劣弧．路燈采用錐形燈罩，燈罩頂
到路面的距離為
，到燈柱所在直線的距離為
．設(shè)
為燈罩軸線與路面的交點，圓心在線段
上．
（1）當(dāng)
為何值時，點恰好在路面中線上?
（2）記圓心在路面上的射影為
，且在線段
上，求
的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，橢圓
：
經(jīng)過點
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點
是橢圓上的任意一點，射線
與橢圓交于點
，過點的直線
與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓交于
，
兩個相異點，證明：
面積為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知平面
平面ABC，P、P在平面ABC的同側(cè)，二面角
的平面角為鈍角，Q到平面ABC的距離為
，
是邊長為2的正三角形，
，
，
.
（1）求證：面
平面PAB；
（2）求二面角
的平面角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若曲線
在
處的切線的斜率為3，求實數(shù)
的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間
上存在極小值，求實數(shù)的取值范圍；
（3）如果
的解集中只有一個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
的極值；
（2）設(shè)函數(shù)在
處的切線方程為
，若函數(shù)
是
上的單調(diào)增函數(shù)，求
的值；
（3）是否存在一條直線與函數(shù)
的圖象相切于兩個不同的點？并說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若
恒成立，求
的最大值；
（2）設(shè)
，若
存在唯一的零點，且對滿足條件的
不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值集合.
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