Question

【題目】口袋中裝有2個白球和n（n≥2，nN*）個紅球．每次從袋中摸出2個球（每次摸球后把這2個球放回口袋中），若摸出的2個球顏色相同則為中獎，否則為不中獎．

（I）用含n的代數式表示1次摸球中獎的概率；

（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中獎的概率；

（III）記3次摸球中恰有1次中獎的概率為f（p），當f（p）取得最大值時，求n的值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）當f（p）取得最大值時，n的值為2.

【解析】試題分析：

(1)由題意結合古典概型公式可得所求概率值為；

(2)利用二項分布可得3次摸球中恰有1次中獎的概率是；

(3)結合概率函數的解析式可得當f（p）取得最大值時，n的值為2．

試題解析：

（I）設“1次摸球中獎”為事件A，則P（A）=，

（II）由（I）得，若n=3，則1次摸球中獎的概率為p===，

所以3次摸球中，恰有1次中獎的概率為P3（1）=，

（III）設“1次摸球中獎”的概率為p，

則3次摸球中，恰有1次中獎的概率為

f（p）=Cp（1-p）2 =3p3-6p2+3p（0<p<1），

因為f'（p）=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），

所以，當p∈（0， ）時，f（p）單調遞增；當p∈（，1）時，f（p）單調遞減，

所以，當p=時，f（p）取得最大值．

令，解得n=2，n=1（舍去）．

所以，當f（p）取得最大值時，n的值為2．