Question

【題目】設函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若函數存在極值，對于任意的，存在正實數，使得，試判斷與的大小關系并給出證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，在上單調遞增.當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（Ⅱ）詳見解析

【解析】【試題分析】（Ⅰ）依據題設條件先求導，再分類討論探求；（Ⅱ）借助題設條件，運用等價轉化與化歸的數學思想進行轉化，然后再運用導數的知識分析探求：

解（Ⅰ）的定義域為，.

當時，則，所以在上單調遞增.

當時，則由得，，（舍去）.當時，，當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述，當時，在上單調遞增.

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，存在極值.

.

由題設得.

又，所以

.設，則，則.

令，則，所以在上單調遞增，所以，故.

又因為，因此，即.

又由知在上單調遞減，所以，即.