Question

以橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸A₁A₂為一邊向外作一等邊三角形A₁A₂P，若隨圓的一個短軸的端點B恰為三角形A₁A₂P的重心，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  3

• C、

  5

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由重心性質可知|OP|=3|OB|，由正三角形可得

3

a=3b，結合a²=b²+c²可求離心率．

解答： 解：∵短軸的端點B恰為三角形A₁A₂P的重心，
∴|OP|=3|OB|，
∵A₁A₂P為正三角形，
∴|OP|=|A₁P|sin60°=2a×

3

2

=

3

a，
故

3

a=3b，即a=

3

b，
∴離心率e=

c

a

=

c2 a2

=

a2-b2 a2

=

3b2-b2 3b2

=

6

3

，
故選：D．

點評：本題考查橢圓的簡單性質及離心率的求解，考查學生的運算求解能力，屬基礎題．