Question

【題目】有下列四個說法：
①若函數f（x）=asinx+cosx（x∈R）的圖象關于直線x= 對稱，則a= ；
②已知向量 =（1，2）， =（﹣2，m），若 與 的夾角為鈍角，則m＜1；
③當 ＜α＜ 時，函數f（x）=sinx﹣logax有三個零點；
④函數f（x）=xsinx在[﹣ ，0]上單調遞減，在[0， ]上單調遞增．
其中正確的是（填上所有正確說法的序號）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：①函數f（x）=asinx+cosx= sin（x+θ），其中tanθ= ，∵其圖象關于直線x= 對稱，∴θ+ =kπ+ ，k∈Z，∴θ=kπ+ ，k∈Z，∴tanθ=tan（kπ+ ）=tan = = ，∴a= ，正確；
②已知向量 =（1，2）， =（﹣2，m）， 與 的夾角為鈍角，則 ，∴m＜1且m≠﹣4，不正確；
③當 ＜α＜ 時，a可以是負數，故函數f（x）=sinx﹣logax有三個零點不正確；
④f′（x）=sinx+cosxx，f′（0）=0，當x∈[0， ]時，f′（x）≥0，f（x）單調遞增；當x∈[﹣ ，0]時，f′（x）≤0，f（x）單調遞減，故正確．
所以答案是：①④．
【考點精析】關于本題考查的命題的真假判斷與應用，需要了解兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能得出正確答案．