Question

已知拋物線x²＝4y的焦點為F，過焦點F且不平行于x軸的動直線交拋物線于A、B兩點，拋物線在A、B兩點處的切線交于點M.

(1)求證：A、M、B三點的橫坐標成等差數列；
(2)設直線MF交該拋物線于C、D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

（1）見解析（2）32

(1)證明：由已知，得F(0，1)，顯然直線AB的斜率存在且不為0,
則可設直線AB的方程為y＝kx＋1(k≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由消去y，得x²－4kx－4＝0，顯然Δ＝16k²＋16>0.
所以x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4，
由x²＝4y，得y＝x²，所以y′＝x,所以，直線AM的斜率為k_AM＝x_1,
所以，直線AM的方程為y－y₁＝x₁(x－x₁)，又＝4y_1,
所以，直線AM的方程為x₁x＝2(y＋y₁)①，同理，直線BM的方程為x₂x＝2(y＋y₂)②，
②－①并據x₁≠x₂得點M的橫坐標x＝，即A、M、B三點的橫坐標成等差數列．
(2)解：由①②易得y＝－1，所以點M的坐標為(2k，－1)(k≠0).
所以k_MF＝＝－，則直線MF的方程為y＝－x＋1，
設C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)由消去y，得x²＋x－4＝0，顯然Δ＝＋16>0,
所以x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝－4，又|AB|＝
＝＝4(k²＋1)，
|CD|＝＝
，
因為k_MF·k_AB＝－1，所以AB⊥CD，
所以S_ACBD＝|AB|·|CD|＝8≥32,
當且僅當k＝±1時，四邊形ACBD面積取到最小值32.