Question

【題目】如圖，菱形的邊長為12，，與交于點，將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據題意，由菱形的性質可知和，由直角三角形斜邊上的中線的性質得出，利用勾股定理的逆定理得出，根據線面垂直的判定定理即可證出平面，最后由線面垂直的性質得出；

（2）根據菱形對角線的性質得出，，線面垂直的判定定理得出平面，建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量法求二面角的公式，即可求出二面角的余弦值.

證明：（1）∵四邊形是菱形，且邊長為12，，

∴，，

在中，，，

∴，又是中點，

∴，

又，

則，∴，

又平面，，

∴平面，

又∵平面，

∴．

解：（2）由題意，，，

又由（1）知，

且平面，，則平面，

故以為坐標原點，分別以，，方向為、、軸正向建立空間直角坐標系，

由于，則，

易知，，，

故，，

設平面的法向量，則，

即令，

則，，，

由于已證平面，故平面的法向量為，

所以，

由圖知二面角為銳二面角，故其余弦值為.