Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是線段AB的中點．

（1）求證：C1M∥平面A1ADD1；
（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1= ，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1為四棱柱，∴CD C1D1，

又M為AB的中點，∴AM=1．

∴CD∥AM，CD=AM，

∴AM C1D1，

∴AMC1D1為平行四邊形，∴AD1∥MC1，又MC1平面A1ADD1，AD1平面A1ADD1，

∴C1M∥平面A1ADD1；

（2）解：解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，

∴面D1C1M與ABC1D1共面，

作CN⊥AB，連接D1N，則∠D1NC即為所求二面角，

在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，

∴CN= ，

在Rt△D1CN中，CD1= ，CN= ，

∴D1N=

∴cos∠D1CN= = =

解法二：作CP⊥AB于P，以C為原點，CD為x軸，CP為y軸，CD1為z軸建立空間坐標系

則C1（﹣1，0， ），D1，（0，0， ），M（ ， ，0），

∴ =（1，0，0）， =（ ， ，﹣ ），

設平面C1D1M的法向量 =（x1，y1，z1），

則 ，∴ =（0，2，1）．

顯然平面ABCD的法向量 =（0，0，1），

cos＜ ， ＞|= = = ，

顯然二面角為銳角，

∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值為 ．

【解析】（1）連接AD1 ， 易證AMC1D1為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證得C1M∥平面A1ADD1；（2）作CP⊥AB于P，以C為原點，CD為x軸，CP為y軸，CD1為z軸建立空間坐標系，易求C1（﹣1，0， ），D1 ， （0，0， ），M（ ， ，0）， =（1，1，0）， =（ ， ，﹣ ），設平面C1D1M的法向量 =（x1 ， y1 ， z1），可求得 =（0，2，1），而平面ABCD的法向量 =（1，0，0），從而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．