Question

【題目】如圖，曲線C由上半橢圓C1： =1（a＞b＞0，y≥0）和部分拋物線C2：y=﹣x2+1（y≤0）連接而成，C1與C2的公共點為A，B，其中C1的離心率為 ．

（1）求a，b的值；
（2）過點B的直線l與C1 ， C2分別交于點P，Q（均異于點A，B），若AP⊥AQ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半橢圓C1的左右頂點．

設C1：的半焦距為c，由 = 及a2﹣c2=b2=1得a=2．

∴a=2，b=1．

（2）解：由（1）知上半橢圓C1的方程為 +x2=1（y≥0）．

易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設其方程為y=k（x﹣1）（k≠0），

代入C1的方程，整理得

（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）

設點P（xp，yp），

∵直線l過點B，

∴x=1是方程（*）的一個根，

由求根公式，得xp= ，從而yp= ，

∴點P的坐標為（ ， ）．

同理，由 得點Q的坐標為（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），

∴ = （k，﹣4）， =﹣k（1，k+2），

∵AP⊥AQ，∴ =0，即 [k﹣4（k+2）]=0，

∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣ ．

經檢驗，k=﹣ 符合題意，

故直線l的方程為y=﹣ （x﹣1），即8x+3y﹣8=0．

【解析】（1）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，設C1：的半焦距為c，由 = 及a2﹣c2=b2=1得a=2；（2）由（1）知上半橢圓C1的方程為 +x2=1（y≥0），設其方程為y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）設點P（xp ， yp），依題意，可求得點P的坐標為（ ， ）；同理可得點Q的坐標為（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用 =0，可求得k的值，從而可得答案．