Question

如圖，已知長方形ABCD中，AB＝2，A₁，B₁分別是AD，BC邊上的點，且AA₁=BB₁="1," E，F分別為B₁D與AB的中點. 把長方形ABCD沿直線折成直角二面角，且.

（1）求證：
（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）根據題意，由于AA₁⊥A₁B₁，同時FG//AA₁，故FG⊥A₁B₁ ,那么結合A₁B₁⊥面EFG，可得A₁B₁⊥EF
得到結論。
（2）

解析試題分析：解：（I）證明：因為AA₁=BB₁="1," 且AA₁//BB₁，所以四邊形ABB₁A₁為矩形，故AA₁⊥A₁B₁，
取A₁B₁的中點G，邊接EG，FG，因為F為AB的中點，所以AF//A₁G，且AF＝A₁G，可得四邊形AFGA₁是平行四邊形，所以FG//AA₁，故FG⊥A₁B₁ ,同理可得EG⊥A₁B₁,所以A₁B₁⊥面EFG，可得A₁B₁⊥EF. 因為CD//A₁B₁，所以CD⊥EF.  （6分）
（II）因為∠A₁B₁D=30°，所以，
可得，因為二面角A－A₁B₁－D為直二面角，由（I）可知FG⊥面A₁B₁E, 所以  （12分）
考點：三棱錐的體積以及線線垂直
點評：主要是考查了線線垂直以及三棱錐體積的運用，屬于基礎題。