Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*總有2Sn＝an2+n，且an＜an+1.若對任意n∈N*，θ∈R，不等式λ（n+2）恒成立，求實數λ的最小值( )

A.1B.2C.1D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由得數列的遞推關系，確定數列是等差數列，從而得其通項公式，不等式化為λ，不等式右邊分子平方展開后應用基本不等式可求得其最大值，從而得的最小值．

由2Sn＝an2+n，①

可知，當n≥2時，2Sn﹣1＝an﹣12+(n﹣1)，②

①﹣②，得2an＝an2﹣an﹣12+1，

故(an﹣1)2＝an﹣12，

于是an﹣1＝an﹣1或an﹣1＝﹣an﹣1，

若an﹣1＝﹣an﹣1，則an+an﹣1＝1，不合題意；

于是an﹣1＝an﹣1，即an﹣an﹣1＝1，

即數列{an}是公差為1的等差數列，又a1＝1，

∴an＝1+(n﹣1)×1＝n.

故an＝n.

依題意知n∈N*，λ 都成立，

然后通過基本不等式得，

2，

當且僅當，即時，取“＝”，

所以 的最大值為2，

所以λ≥2，

所以λ的最小值為2，

故選：B.