Question

【題目】如圖，設橢圓（a＞1）.

（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；

（Ⅱ）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

試題（Ⅰ）先聯立和，可得，，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（Ⅱ）先假設圓與橢圓的公共點有個，再利用對稱性及已知條件可得任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點時，的取值范圍，進而可得橢圓離心率的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）設直線被橢圓截得的線段為，由得，

故，．

因此．

（Ⅱ）假設圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設軸左側的橢圓上有兩個不同的點，，滿足

．

記直線，的斜率分別為，，且，，．

由（Ⅰ）知，，，

故，

所以．

由于，，得，

因此， ①

因為①式關于，的方程有解的充要條件是，

所以．

因此，任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點的充要條件為，

由得，所求離心率的取值范圍為．