Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，G是AB延長線上的一點，GCD是圓O的割線，過點G作AG的垂線，交直線AC于點E，交直線 AD于點F，過點G作圓O的切線，切點為H．
（1）求證：C，D，E，F四點共圓；
（2）若GH=8，GE=4，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接DB，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，

又∵∠ABD=∠ACD，∠ACD=∠AFE．

∴C，D，E，F四點共圓；

（2）解：∵C，D，E，F四點共圓，∴GEGF=GCGD．

∵GH是⊙O的切線，∴GH2=GCGD，∴GH2=GEGF．

又因為GH=8，GE=4，所以GF=16．

∴EF=GF﹣GE=12．

【解析】（1）連接DB，利用AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所對的圓周角相等可得∠ACD=∠ABD，進而得到∠ACD=∠AFE即可證明四點共圓；（2）由C，D，E，F四點共圓，利用共線定理可得GEGF=GCGD．由GH是⊙O的切線，利用切割線定理可得GH2=GCGD，進而得到GH2=GEGF即可．