Question

【題目】已知橢圓()的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，離心率，且經(jīng)過圓O:的圓心.過點(diǎn)F作不與坐標(biāo)軸重合的直線和該橢圓交于MN兩點(diǎn)，且直線分別與直線交于PQ兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）證明:為直角三角形.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

根據(jù)條件橢圓過點(diǎn)，即，由以及，可求橢圓方程.
（2）設(shè)，，根據(jù)點(diǎn)共線求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式即可得到，即證明結(jié)論成立.

(1)由題意知，圓O:的圓心為

.∵橢圓()過圓O:的圓心，

∴.又，，∴

.∴所求橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，可設(shè)直線l的方程為.

聯(lián)立，可得.

∴

.根據(jù)AMP三點(diǎn)共線可得.

∴.同理可得

.∴PQ的坐標(biāo)分別為，.

設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則

∴. ∴為直角三角形.