Question

已知二次函數f（t）=at²-

b

t+

1

4a

（t∈R）有最大值且最大值為正實數，集合A=

x/ x-a x ＜0

，集合B=

x/x2＜b2

．
（1）求A和B；
（2）定義A與B的差集：A-B=

x/x∈A

且x∉B．且x∈A．P（E）為x取自A-B的概率．P（F）為x取自A/B的概率．解答下面問題：
①當a=-3，b=2時，求P（E），P（F）取值？
②設a，b，x均為整數時，寫出a與b的三組值，使P（E）=

2

3

，P（F）=

1

3

．

Answer 1

分析：（1）先函數f（t）進行配方，根據函數f（t）的最大值為正實數可確定b的范圍，然后分別求出集合A和集合B即可；
（2）①P(E)=

1

3

；P（F）=

2

3

②要使P(E)=

2

3

，P（F）=

1

3

．可以分三種情形考慮：A中有3個元素，A-B中有2個元素，A∩B中有1個元素；A中有6個元素，A-B中有4個元素，A∩B中有2個元素；A中有9個元素，A-B中有6個元素，A∩B中有3個元素，分別求得a，b即可．

解答：解：（1）∵f(t)=at2-

b

t+

1

4a

(t∈R)，
配方得 f(t)=a(t-

b

2a

)2+

1-b

4b

，
由a＜0得最大值

1-b

4a

＞0?b＞1．
∴A={x|a＜x＜0}，B={x|-b＜x＜b}．
（2）①P(E)=

1

3

；P（F）=

2

3

②要使P(E)=

2

3

，P（F）=

1

3

．可以使：
A中有3個元素，A-B中有2個元素，A∩B中有1個元素．a=-4，b=2．
A中有6個元素，A-B中有4個元素，A∩B中有2個元素．則a=-7，b=3．
A中有9個元素，A-B中有6個元素，A∩B中有3個元素．則a=-10，b=4．

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及分段函數和古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題．