Question

【題目】已知四棱錐的五個頂點都在球O的球面上，，，，是等邊三角形，若四棱錐體積的最大值，則球O的表面積為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

畫出幾何體的圖形，判斷幾何體的體積的最大值的情況，轉化求解外接球的半徑，然后求解外接球的表面積．

由題意知，當四棱錐體積最大時，平面平面ABCD，

設的邊長為a，在等腰梯形ABCD中，

易知，又，可得，

所以等腰梯形ABCD的面積，

平面平面ABCD時，棱錐的高即為的高為，

所以四棱錐體積最大值為，

解得，

取BC的中點，因為與是直角三角形，

所以梯形ABCD的外接圓圓心是邊BC的中點；

又是等邊三角形，其外接圓圓心是等邊的中心.

分別過，作梯形ABCD、所在平面的垂線，

則兩垂線的交點O即是四棱錐的外接球球心，

則四棱錐外接球的半徑為：

，

所以球O的表面積為.

故選：．