Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，曲線的方程為，在以原點為極點， 軸的非負關軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.

（1）將上的所有點的橫坐標和縱坐標分別伸長到原來的2倍和倍后得到曲線，求曲線的參數方程；

（2）若分別為曲線與直線的兩個動點，求的最小值以及此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（為參數）；（Ⅱ）點的直角坐標為時， 取得最小值.

【解析】試題分析：

(1)由題意可知曲線的直角坐標方程為，則曲線的參數方程為（為參數）.

(2)利用題意得到關于的三角函數式，結合三角函數的性質可得點的直角坐標為時， 取得最小值.

試題解析：

（Ⅰ）在曲線上任取一點，設點的坐標為，則點在曲線上，滿足，所以曲線的直角坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數）.

（Ⅱ）直線的直角坐標方程為： ，設點，點到直線的距離為，當，即點的直角坐標為時， 取得最小值.