Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 、 ，短軸兩個端點為 、 ，且四邊形 是邊長為2的正方形．

（1）求橢圓的方程；
（2）若 、 分別是橢圓長軸的左、右端點，動點 滿足 ，連接 ，交橢圓于點 ．證明： 為定值．
（3）在（2）的條件下，試問 軸上是否存異于點 的定點 ，使得以 為直徑的圓恒過直線 、 的交點，若存在，求出點 的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∴ 橢圓方程為： ．

（2）解：∵ ，∴設 ，則直線 的方程為： ，

，

解設： 或 （舍去），

，∴ ，從而 ，

∴

（3）解：設 ，若以 為直徑的圓過 與 的交點即直線 ，

直線 的斜率 ，直線 的斜率 ，

所以 ，即 ，

∴ ，即

【解析】(1)根據題意結合橢圓中a2=b2+c2的關系分別求出a、b的值進而求出橢圓的方程。(2)由已知利用點斜式設出直線MC的方程，聯立橢圓和直線的方程消去y得到的關于x的方程，解出點P和點M的坐標由向量的數量積的坐標表示計算即可得到定值為4。(3)根據題意設出點Q的坐標，利用直徑所對的圓心角為直角得出垂直的關系，再轉化為向量的數量積等于零，即可解得Q點的坐標。

【考點精析】掌握橢圓的概念是解答本題的根本，需要知道平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．