Question

已知⊙O：x²+y²=1和點(diǎn)M（4，2）．
（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)M向⊙O引切線l，求直線l的方程；
（Ⅱ）求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y=2x-1截得的弦長(zhǎng)為4的⊙M的方程；
（Ⅲ）設(shè)P為（Ⅱ）中⊙M上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向⊙O引切線，切點(diǎn)為Q．試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得

PQ

PR

為定值？若存在，請(qǐng)舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）找出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)切線方程的斜率為k，由M的坐標(biāo)和k寫出切線l的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d讓d等于半徑r得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程即可；
（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出M到已知直線的距離d，然后利用勾股定理即可求出圓M的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的R點(diǎn)，設(shè)出R的坐標(biāo)，并設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑得到三角形OPQ為直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出PQ的長(zhǎng)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出PR的長(zhǎng)，設(shè)PQ與PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后兩邊平方化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)系式記作（*），又因?yàn)镻在⊙M上，所以把P的坐標(biāo)當(dāng)然到⊙M的方程中，化簡(jiǎn)后代入到（*）中，根據(jù)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等即可求出R的坐標(biāo)和λ的值．

解答：解：（Ⅰ）由⊙O：x²+y²=1得到圓心O（0，0）半徑r=1，
設(shè)切線l方程為y-2=k（x-4），
易得

|4k-2|

k2+1

=1，解得k=

8± 19

15

，
∴切線l方程為y-2=

8± 19

15

(x-4)；
（Ⅱ）圓心M到直線y=2x-1的距離d=

|5|

1+4

=

5

，
設(shè)圓的半徑為r，則r2=22+(

5

)2=9，
∴⊙M的方程為（x-4）²+（y-2）²=9；

（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R（a，b），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），相應(yīng)的定值為λ，
根據(jù)題意可得PQ=

x2+y2-1

，
∴

x2+y2-1

(x-a)2+(y-b)2

=λ，
即x²+y²-1=λ²（x²+y²-2ax-2by+a²+b²）（*），
又點(diǎn)P在圓上∴（x-4）²+（y-2）²=9，
即x²+y²=8x+4y-11，代入（*）式得：
8x+4y-12=λ²[（8-2a）x+（4-2b）y+（a²+b²-11）]，
若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則等式恒成立，∴

λ2(8-2a)=8 λ2(4-2b)=4 λ2(a2+b2-11)=-12

，
解得a=2，b=1，λ=

2

或a=

2

5

，b=

1

5

，λ=

10

3

，
∴可以找到這樣的定點(diǎn)R，使得

PQ

PR

為定值．
如點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，比值為

2

；點(diǎn)R的坐標(biāo)為(

2

5

，

1

5

)時(shí)，比值為

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合題．