Question

【題目】設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓:的左、右焦點(diǎn)，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為.點(diǎn)M、N是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且向量與向量平行.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求△的面積；

（3）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)可得，解得即可，

（2）可設(shè)，，根據(jù)向量的數(shù)量積求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)直線平行，求出的坐標(biāo)，

利用兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式計(jì)算即可，

（3）向量與向量平行，不妨設(shè)，設(shè)，，，，根據(jù)坐標(biāo)之間的關(guān)系，求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的模，即可求出的值，根據(jù)斜率公式求出直線的斜率，根據(jù)直線平行和點(diǎn)斜式即可求出直線方程．

解：（1）點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，

，，

橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，

，

解得，

橢圓的方程為，

（2）由（1）可得，，

點(diǎn)、是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，

可設(shè)，，

，，，，

，

，

解得，，

，

，

，

向量與向量平行，

直線的斜率為，

直線方程為，

聯(lián)立方程組，解得，（舍去），或，，

，，

，

點(diǎn)到直線直線的距離為，

的面積，

（3）向量與向量平行，

，

，

，即，

設(shè)，，，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

解得，或（舍去）

，

，

，

，

直線的方程為，

即為