Question

【題目】已知橢圓的離心率為，上頂點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點的直線與橢圓交于不同的兩點，線段的中點為，使得？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) .(2)不存在直線滿足題意.

【解析】試題分析：（1）由上頂點到直線的距離為，可得，在由離心率即，即可求解的值，得到橢圓的方程.

（2）設直線的方程為，聯立方程組，利用，得到，設交點的中點為，得，再利用，轉化為，即可推導處矛盾，從而得出結論.

試題解析：

（1）由題可得，可得，

故橢圓的方程為.

（2）假設存在滿足條件的直線，易知在橢圓的外部，

當直線的斜率不存在時，直線與橢圓無交點，所以直斜率存在，設斜率為，

則直線的方程為，

由方程組，得，

依題意，

當時，設交點的中點為，

則，

所以，

又，

所以，

所以，而不成立，

所以不存在直線，使得.