Question

【題目】（本小題滿分16分）已知函數在處的切線方程為

（1）若= ，求證：曲線上的任意一點處的切線與直線和直線

圍成的三角形面積為定值；

（2）若，是否存在實數，使得對于定義域內的任意都成立；

（3）在（2）的條件下，若方程有三個解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：

試題解析：根據導數的幾何意義， 為切線的斜率，解出，寫出的切線方程求出三角形的面積為定值.利用求出，假設存在m，k滿足題意，則式子對定義域任一恒成立，解出；代入的值使方程有三個解，化為 =|x|（x﹣1），畫出的圖象，要求﹣ ＜ ＜0，解出的范圍.

證明：（1）因為 f′（x）=

所以 f′（3）= ，

又 g（x）=f（x+1）=ax+ ，

設g（x）圖象上任意一點P（x0，y0）因為 g′（x）=a﹣ ，

所以切線方程為y﹣（ax0+）=（a﹣）（x﹣x0）

令x=0 得y=； 再令y=ax得 x=2x0，

故三角形面積S=|||2x0|=4，

即三角形面積為定值．

（2）由f（3）=3得a=1，f（x）=x+ ﹣1假設存在m，k滿足題意，

則有x﹣1++m﹣x﹣1+=k

化簡，得 對定義域內任意x都成立，

故只有 解得

所以存在實數m=2，k=0使得f（x）+f（m﹣k）=k對定義域內的任意都成立．

（3）由題意知，x﹣1+=t（x2﹣2x+3）|x|

因為x≠0，且x≠1化簡，得 t=

即 =|x|（x﹣1），

如圖可知，﹣ ＜ ＜0，

所以t＜﹣4即為t的取值范圍．