Question

如圖，已知⊙O和⊙M相交于A、B兩點，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點C，點G為弧BD的中點，連接AG分別交⊙O、BD于點E、F，連接CE．
（Ⅰ）求證：AC為⊙O的直徑．
（Ⅱ）求證：AG•EF=CE•GD．

Answer 1

分析：（ I）要證AC為⊙O的直徑，只需證出=90°即可．∠ABC連接DG，AB，根據圓周角定理得出∠ABD=∠AGD=90°后，則可得到證明．
（Ⅱ）要證AG•EF=CE•GD，可考慮證明△AGD∽△ECF．兩三角形均為直角三角形，再通過∠GAD=∠GAB=∠BCE，則可證出△AGD∽△ECF．

解答：證明：（ I）連接DG，AB
∵AD為⊙M的直徑
∴∠ABD=∠AGD=90°
在⊙O中，∠ABC=∠AEC=∠ABD=90°
∴AC為⊙O的直徑．    …（4分）
（ II）∵∠AEC=90°
∴∠CEF=90°
∵點G為弧BD的中點
∴∠GAD=∠GAB，
在⊙O中，∠BCE=∠GAB
∴△AGD∽△ECF
∴AG•EF=CE•GD…（10分）

點評：本題考查相似三角形的判定和性質、圓周角定理．在以圓為背景的條件下，要充分利用圓的幾何性質、圓周角定理，弦切角定理等，尋求相等角實現轉化與代換．