Question

如圖，已知⊙O和⊙M相交于A、B兩點，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點C，點G為BD中點，連接AG分別交⊙O、BD于點E、F連接CE．
（1）求證：AG•EF=CE•GD；
（2）求證：

GF

AG

=

EF2

CE2

．

Answer 1

分析：（1）要證明AG•EF=CE•GD我們可以分析積等式中四條線段的位置，然后判斷它們所在的三角形是否相似，然后將其轉化為一個證明三角形相似的問題．
（2）由（1）的推理過程，我們易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG²=AG•GF，結合（1）的結論，不難得到要證明的結論．

解答：證明：（1）連接AB，AC，
∵AD為⊙M的直徑，∴∠ABD=90°，
∴AC為⊙O的直徑，∴∠CEF=∠AGD，
∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，
∵G為弧BD中點，∴∠DAG=∠GDF，
∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，
∴△CEF∽△AGD，
∴

CE

EF

=

AG

GD

，
∴AG•EF=CE•GD

（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，
∠G=∠G，
∴△DFG∽△AGD，
∴DG²=AG•GF，
由（1）知

EF2

CE2

=

GD2

AG2

，
∴

GF

AG

=

EF2

CE2

．

點評：證明三角形相似有三個判定定理：（1）如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似（簡敘為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似（2）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似（簡敘為：三邊對應成比例，兩個三角形相似（3）如果兩個三角形的兩個角分別對應相等（或三個角分別對應相等），則有兩個三角形相似．我們要根據已知條件進行合理的選擇，以簡化證明過程．