Question

【題目】已知為坐標原點，圓，定點，點是圓上一動點，線段的垂直平分線交圓的半徑于點，點的軌跡為.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點是曲線上但不在坐標軸上的任意一點，曲線與軸的焦點分別為，直線和分別與軸相交于兩點，請問線段長之積是否為定值？如果還請求出定值，如果不是請說明理由；

（3）在（2）的條件下，若點坐標為（-1,0），設過點的直線與相交于兩點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

試題（1）依題意可得：圓的圓心坐標為半徑為，,則 .根據橢圓定義，是以,為焦點，長軸長為4的橢圓，由此即可求出的方程.（2）設直線方程為：，令得：，同理可得：，所以，因為點是上且不在坐標軸上的任意一點，所以，可得，因此的定值為4.（3）當點的坐標為（-1,0）時，點，,

設直線的方程為：， ,聯立消并整理得：.解得：,

所以.所以的面積,.根據函數單調性，可得，所以當即直線的方程為：時，面積的最大值是.

試題解析：

（1）依題意可得：圓的圓心坐標為半徑為，,

則 .

根據橢圓定義，是以,為焦點，長軸長為4的橢圓，

設其方程為：,

∴即，∴.

∴的方程為：.

（2）證明：設直線方程為：，

令得：，同理可得：，

所以.

因為點是上且不在坐標軸上的任意一點，所以

即,

所以，因此的定值為4.

（3）當點的坐標為（-1,0）時，點，,

設直線的方程為：， ,

聯立消并整理得：.

解得：,

所以.

所以的面積,

.

∵，，∴在上為增函數,

∴，所以∴，

所以當即直線的方程為：時，面積的最大值是.