Question

【題目】設.

（Ⅰ）令，求的單調區間；

（Ⅱ）當時，直線與的圖像有兩個交點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.

【解析】

試題（I）先求得的表達式，對求導，以分類討論函數的單調區間.（II） 由（I）知，，根據單調性可知函數在處取得極小值也是最小值.構造函數，利用導數求得，即有，根據單調性有.

試題解析：

解：（Ⅰ）由,

可得,

則.

當時, 時，，函數單調遞增；

當時，時，，函數單調遞增；時，，函數單調遞減；

所以，當時，函數單調遞增區間為；當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，.

當時, 是增函數，且當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

所以在處取得極小值，且，

所以.

.

令，則，

于是在（0,1）上單調遞減，故，

由此得即.

因為，在單調遞增，

所以即.