Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ex﹣2，x＞0.

（1）求函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)x＝2處的切線方程；

（2）求證：f（x）＜0.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程.

（2）（方法一）作函數(shù)，求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，，求出函數(shù)的最小值，然后推出結(jié)果.

（方法二）在定義域區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減，求解函數(shù)的極大值，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)化求解即可.

（1），，

f（2）＝ln2﹣1，，

所求切線方程為，即，

（2）（方法一）作函數(shù)，

（其他適宜函數(shù)如、也可），

g′（e）＝0；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0，

所以g（x）≤g（e）＝0，即，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x＝e時(shí)成立.

作函數(shù)，，

h′（1）＝0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，

所以h（x）≥h（1）＝0，即，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)成立.

因?yàn)?/span>e≠1，綜上所述，x＞0，lnx＜ex﹣2，即f（x）＜0.

（方法二）在定義域區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減，

，所以，f′（x）有唯一零點(diǎn)x0，且x0是極大值點(diǎn)，

，由得，，lnx0＝2﹣x0，

代入得，，

因?yàn)?/span>1＜x0＜2，所以，f（x）≤f（x0）＜0.