Question

有以下4個結論：①若sinα+cosα=1，那么sinⁿα+cosⁿα=1； ②x=

1

8

π是函數y=sin (2x+

5

4

π)的一條對稱軸； ③y=cosx，x∈R在第四象限是增函數； ④函數y=sin (

3

2

π+x)是偶函數；  其中正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：分別對四個命題進行判斷，對于①sinα+cosα=1結合性質|sinα|≤1，|cosα|≤1易得結論；②可以把x=

1

8

π代入函數驗證解得；解③的方法就是取特值，舉反例求解； ④函數y=sin (

3

2

π+x)可以化簡為函數y═-cosx，可作出判斷．

解答：解：對于①由sinα+cosα=1知，

sinα=1 cosα=0

或

cosα=1 sinα=0

，從而有sinⁿα+cosⁿα=1；故①的結論正確；
 ②驗證當x=

1

8

π時，函數y=sin (2x+

5

4

π)=sin (2×

π

8

+

5

4

π)=sin

3π

2

=- 1，所以x=

1

8

π是函數y=sin (2x+

5

4

π)的一條對稱軸，②的結論正確；
 ③舉反例如：設x₁=-

π

4

，x₂=

7π

4

均是第四象限的角，且x₁＜x₂，但是cosx₁=cosx₂=

2

2

所以y=cosx，x∈R在第四象限是增函數，此結論錯誤；
 ④函數y=sin (

3

2

π+x)=-cosx，顯然這是一個偶函數，結論正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題的概念，真假命題的判斷，綜合考查了三角函數的內容；分命題涉及三角函數求值，正余弦函數的性質，如單調性，奇偶性，對稱性等內容．這類命題與多種相關知識的綜合考查是近年來高考的命題趨向，對相關知識的基本概念的把握要求較高．