Question

已知直線l的斜率為k,且過點P(-2,0),拋物線C:y²=4(x+1),直線l與拋物線C有兩個不同的交點A、B.

(1)求k的取值范圍.

(2)是否存在這樣的k,使A和B分別與拋物線焦點的連線互相垂直?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)設直線l的方程為y=k(x+2),代入C得k²x²+4(k²-1)x+4(k²-1)=0.

由Δ=16·(k²-1)²-16(k²-1)k²＞0,

得-1＜k＜1.

(2)顯然拋物線的焦點為O(0,0),

設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

則由OA⊥OB,得x₁x₂+y₁y₂=0.

∵x₁x₂=,x₁+x₂=-,

由y₁y₂=k²(x₁+2)(x₂+2),

∴+k²［-+4］=0,解得k=±.

故存在斜率k=±,使OA⊥OB.