Question

將正△ABC分割成n²(n≥2，n∈N)個全等的小正三角形(圖乙，圖丙分別給出了n＝2,3的情形)，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當數(shù)的個數(shù)不少于3時)都分別成等差數(shù)列，若頂點A，B，C處的三個數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．

Answer 1

解析：當n＝3時，如題圖所示分別設各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知
a＋b＋c＝1，x₁＋x₂＝a＋b，y₁＋y₂＝b＋c，z₁＋z₂＝c＋a.
x₁＋x₂＋y₁＋y₂＋z₁＋z₂＝2(a＋b＋c)＝2，
2g＝x₁＋y₂＝x₂＋z₁＝y(tǒng)₁＋z₂.
6g＝x₁＋x₂＋y₁＋y₂＋z₁＋z₂＝2(a＋b＋c)＝2.
即g＝而f(3)＝a＋b＋c＋x₁＋x₂＋y₁＋y₂＋z₁＋z₂＋g＝
1＋2＋＝.
進一步可求得f(4)＝5.由上知f(1)中有三個數(shù)，f(2)中有6個數(shù)，f(3)中共有10個數(shù)相加，f(4)中有15個數(shù)相加…，若f(n－1)中有a_n－1(n＞1)個數(shù)相加，可得f(n)中有(a_n－1＋n＋1)個數(shù)相加，且由f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，…
可得f(n)＝f(n－1)＋，所以
f(n)＝f(n－1)＋＝f(n－2)＋＋＝…
＝＋＋＋＋f(1)
＝＋＋＋＋＋＝(n＋1)(n＋2)．

略