Question

【題目】如圖，數軸，的交點為，夾角為，與軸、軸正向同向的單位向量分別是，.由平面向量基本定理，對于平面內的任一向量，存在唯一的有序實數對，使得，我們把叫做點在斜坐標系中的坐標（以下各點的坐標都指在斜坐標系中的坐標）.

（1）若，為單位向量，且與的夾角為，求點的坐標；

（2）若，點的坐標為，求向量與的夾角；

（3）若，求過點的直線的方程，使得原點到直線的距離最大.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）設出P點的坐標，結合為單位向量，且與的夾角為，列式求解；

（2）由題意求出，代入數量積求夾角公式得答案.

（3）由題意得到A在直角坐標系和斜坐標系下坐標的關系，求出直角坐標系下使得原點O到直線l的距離最大的直線方程，轉化為斜坐標系下的方程，即得解.

（1）若，為單位向量，且與的夾角為，

設，且

代入，得

（2）若，點的坐標為，則

又

設向量與的夾角為，則

（3）若，點

由，可得A在直角坐標系下得坐標為：

因此過點且使得原點O到直線l的距離最大的直線方程為：

代入：

整理得：

所以過點的直線的方程，使得原點到直線的距離最大的直線方程為：