Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正方形，平面平面，直線與平面所成的角為，.

（1）若，分別為，的中點，求證：直線平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由平面平面得到平面，從而，根據，得到平面，得到，結合，得到平面；

（2）為原點，建立空間坐標系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，得到法向量之間的夾角余弦，從而得到二面角的正弦值.

（1）證明：∵平面平面，平面平面，

，平面，

∴平面，

則為直線與平面所成的角，為，

∴，

而平面，

∴

又，為的中點，

∴，

平面，

則平面，

而平面

∴，

又，分別為，的中點，

則，

正方形中，，∴，

又平面，，

∴直線平面；

（2）解：以為坐標原點，分別以，所在直線為，軸，

過作的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，

，，，

設平面的法向量為，

則，即，

取，得；

設平面的法向量為，

則，即，

取，得.

∴.

∴二面角的正弦值為.