Question

【題目】已知數列的首項，前項和為，.

(1)求數列的通項公式；

(2)設，求數列的前n項和Tn，并證明：1≤Tn<.

Answer 1

【答案】(1) an＝3n－1.

(2) . 證明見解析.

【解析】分析：(1)由遞推關系式可得{an}是以3為公比的等比數列．且首項為1，則其通項公式為an＝3n－1.

(2)由題意可得，錯位相減可得，據此結合的單調性即可證得題中的結論.

詳解： (1)由an＋1＝2Sn＋1，得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，

兩式相減得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，

故an＋1＝3an(n≥2)，

所以當n≥2時，{an}是以3為公比的等比數列．

因為a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，＝3，

所以{an}是首項為1，公比為3的等比數列，an＝3n－1.

(2)由(1)知an＝3n－1，故bn＝log3an＋1＝log33n＝n，＝＝n·，

Tn＝1＋2×＋3×＋4×＋…＋n×，①

Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n-1)×+ n×，②

①－②，得Tn＝1＋＋,

所以Tn＝－(＋n). 因為(＋n) >0， 所以Tn＝－(＋n)<.

又因為Tn＋1－Tn＝>0，所以數列{Tn}單調遞增，所以(Tn)min＝T1＝1，所以1≤Tn<.