Question

【題目】設a，b，c均為正數，且a+b+c=1．證明：
（1） ；
（2） ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，

∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，①

又a+b+c=1，

∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，②

由①②得：3（ab+bc+ac）≤1，

∴ab+bc+ac≤

（2）證明：∵a，b，c均為正數，

∴ +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，

∴ + +a+b+c≥2（a+b+c），

∴ + ≥a+b+c，a+b+c=1，

∴ + ≥1

【解析】（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，a+b+c=1即可證得ab+bc+ac≤ ；（2）由 +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，a+b+c=1即可證得結論．
【考點精析】利用不等式的證明對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．