Question

（2008•青浦區一模）定義函數f(x)=

sinx，sinx≥cosx cosx，sinx＜cosx

，
給出下列四個命題：
（1）該函數的值域為[-1，1]；
（2）當且僅當x=2kπ+

π

2

(k∈Z)時，該函數取得最大值；
（3）該函數是以π為最小正周期的周期函數；
（4）當且僅當2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

(k∈Z)時，f（x）＜0．
上述命題中正確的個數是（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由題意可得：函數 f(x)=

sinx，[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] cosx，[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，再根據周期函數的定義結合其圖象可得函數的周期等性質即可．

解答：解：由題意可得：函數 f(x)=

sinx當sinx≥cosx時 cosx當sinx＜cosx時

，即 f(x)=

sinx，[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] cosx，[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，作出其圖象如圖，從圖象上可以看出：
（1）該函數的值域為[-

2

2

，1]；故（1）錯；
（2）當且僅當x=2kπ+

π

2

(k∈Z)或x=2kπ（k∈Z）時，該函數取得最大值；幫（2）錯；
（3）該函數是以2π為最小正周期的周期函數；（3）錯；
（4）當且僅當2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

(k∈Z)時，f（x）＜0，（4）正確．
故選A．

點評：本題主要考查三角函數的有關性質，如周期性，單調性，最值等性質，考查運算求解能力，屬于基礎題．