Question

正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B。
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
(2)求二面角E—DF—C的余弦值；
(3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論.

Answer 1

解：（1）如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF.  ∴AB∥平面DEF.
 
（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD 
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD
取CD的中點M，這時EM∥AD  ∴EM⊥平面BCD
過M作MN⊥DF于點N，連結EN，則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
∴tan∠MNE=，cos∠MNE= 
（3）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE
證明如下：在線段BC上取點P。使，過P作PQ⊥CD與點Q，
∴PQ⊥平面ACD ∵在等邊△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE

略