Question

（12分）右圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，且PD＝AD＝2CE＝2 .
（1）若N為線段PB的中點，求證：EN⊥平面PDB；
（2）求該幾何體的體積；

Answer 1

（1）證明：連結AC與BD交于點F, 連結NF，

∵F為BD的中點，N為PB的中點
∴NF//PD且NF＝PD
又EC//PD且EC＝PD
∴NF//EC且NF＝EC
∴四邊形NFCE為平行四邊形
∴NE//FC
∵PD⊥平面ABCD，，AC平面ABCD
∴PD⊥AC， ∵AC⊥BD且PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD ∵EN//AC
∴NE⊥平面PBD
（2）∵PD⊥平面ABCD，，BC平面ABCD 
∴PD⊥BC，
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面DBC＝CD ∴BC⊥平面PDCE   
∵
∴四棱錐B－CEPD的體積

∵三棱錐P－ABD的體積

略