Question

（2012•上海模擬）若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足對(duì)任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），則稱(chēng)f（x）為“V形函數(shù)”．
（1）當(dāng)f（x）=x²時(shí)，判斷f（x）是否為V形函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)f（x）=lg（x²+2）時(shí)，證明：f（x）是V形函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）=lg（2^x+a）時(shí)，若f（x）為V形函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x₁，x₂同號(hào)時(shí)，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），不滿(mǎn)足V形函數(shù)的定義，可判定；
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，然后根據(jù)V形函數(shù)的定義判定即可；
（3）根據(jù)V形函數(shù)的定義建立不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化成a（2^x₁+x₂）+a²-a≥0對(duì)任意x₁，x₂∈R恒成立，然后討論a的符號(hào)，解之即可．

解答：解：（1）當(dāng)f（x）=x²時(shí)，f（x₁+x₂）=x₁²+x₂²+2x₁x₂，f（x₁）+f（x₂）=x₁²+x₂²，
當(dāng)x₁，x₂同號(hào)時(shí)，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），不滿(mǎn)足V形函數(shù)的定義，
故當(dāng)f（x）=x²時(shí)，f（x）不是V形函數(shù)；
（2）當(dāng)f（x）=lg（x²+2）時(shí)f（x₁+x₂）=lg[（x₁+x₂）²+2]=lg（x₁²+x₂²+2x₁x₂+2），
f（x₁）+f（x₂）=lg（x₁²+2）+lg（x₂²+2）=lg[2（x₁²+x₂²）+x₁²x₂²+4]
∴滿(mǎn)足對(duì)任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），則f（x）=lg（x²+2）為“V形函數(shù)”．
（3）當(dāng)f（x）=lg（2^x+a）時(shí)，若f（x）為V形函數(shù)
則f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
即lg（2^x₁+x₂+a）≤lg（2^x₁+a）+lg（2^x₂+a）=lg[2^x₁+x₂+a（2^x₁+x₂）+a²]
∴a（2^x₁+x₂）+a²-a≥0對(duì)任意x₁，x₂∈R恒成立
當(dāng)a=0時(shí)，成立，當(dāng)a＜0時(shí)不成立，當(dāng)a＞0時(shí)，a≥（1-2^x₁+x₂）_max
∴a≥1或a=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．