Question

【題目】已知函數，其中．

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）設，若曲線，有公共點，且在點處的切線相同，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出原函數的導函數，得到導函數的零點，由導函數的零點對函數定義域分段，再由導函數在不同區間段內的符號可得原函數的單調性；

（Ⅱ）設點P的橫坐標為x0（x0＞0），由題意得，得到（a＞0）．設，利用導數求其最大值得答案．

（Ⅰ）的定義域為．

．

令，得．

當時，；當時，．

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（Ⅱ）設點的橫坐標為，則，．

因為，，所以，．

由題意得

由得或（舍）．

所以 ．

設，則

．

令，得．

當時，，單調遞增；

當 時，，單調遞減．

所以在的最大值為，

即的最大值為．