Question

【題目】山西省2021年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統一高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分。根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為共8個等級.參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到八個分數區間，得到考生的等級成績。舉例說明1：甲同學化學學科原始分為65分，化學學科 等級的原始分分布區間為，則該同學化學學科的原始成績屬等級，而等級的轉換分區間為那么，甲同學化學學科的轉換分為：設甲同學化學科的轉換等級分為 ，求得.四舍五入后甲同學化學學科賦分成績為66分。舉例說明2：乙同學化學學科原始分為69分，化學學科等級的原始分分布區間為則該同學化學學科的原始成績屬等級.而等級的轉換分區間為這時不用公式，乙同學化學學科賦分成績直接取下端點70分。現有復興中學高一年級共3000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態分布。且等級為 所在原始分分布區間為，且等級為所在原始分分布區間為，且等級為所在原始分分布區間為

（1）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學科賦分成績；（精確到整數）.

（2）若以復興中學此次考試頻率為依據，在學校隨機抽取4人，記這4人中物理原始成績在區間 的人數，求的數學期望和方差.（精確到小數點后三位數）.

附：若隨機變量滿足正態分布，給出以下數據，

Answer 1

【答案】(1) 小明82分，小紅70分；(2)1.504，0.938

【解析】

（1）根據題意列式求解（2）先確定區間，再根據正態分布求特定區間概率，最后根據二項分布求期望與方差.

解（1）小明同學且等級為,設小明轉換后的物理等級分為，

求得 ．

小明轉換后的物理成績為82

小紅同學且等級為，且等級為所在原始分分布區間為，

小紅為本等級最低分72,則轉換后的物理成績為70分。

（2）物理考試原始成績等級為所在原始分分布區間為，人數所占比例為24%，

又因為物理考試原始成績基本服從正態分布，

當原始分時，人數所占比例為

則隨機抽取一個物理原始成績在區間的概率為

由題可得