Question

【題目】設，在集合的所有元素個數為2的子集中,把每個子集的較大元素相加和記為a，較小元素之和記為b.

(1)當n=3時,求a, b的值；

(2)當n=4時,求集合的所有3個元素子集中所有元素之和;

(3)對任意的，是否為定值？若是定值，請給出證明并求出這個定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）見證明

【解析】

（1）根據題干所給的概念可得到相應的參數值；（2）含有元素1的子集有個，同理含有2,3,4的子集也有個，元素之和為；（3）根據題意分析得到a和b的表達式，再由組合數的公式得到結果.

（1）集合的所有2元子集為，，，

較大元素分別為2，3，3，所以；

較小元素分別為1，1，2，所以.

（2）含有元素1的子集有個，同理含有2,3,4的子集也有個

于是所求元素之和為

(3)是為定值，定值為

當n≥4，n∈N*，當較小元素為1時，這樣的2元素集合有個，較小元素為2時，這樣的2元素集合為,依次類推，較小元素為n-1的集合個數為1個，

同上，當較大元素為2時，這樣的2元素集合有1個，較大元素為3的2元素集合為2個，依此類推得到較大元素為n時，集合個數為個，進而得到：

所以，.