Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點(diǎn)在圓上，且在第一象限，過作的切線交橢圓于兩點(diǎn)，問： 的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，就是要確定的值，題中焦點(diǎn)說明，點(diǎn)在橢圓上，把坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程可得的一個方程，聯(lián)立后結(jié)合可解得；（2）定值問題，就是讓切線繞圓旋轉(zhuǎn)，求出的周長，為此設(shè)直線的方程為（，由它與圓相切可得的關(guān)系， ，下面來求周長，設(shè)，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后得一元二次方程，可得，由弦長公式得弦長，再求得（這也可由焦半徑公式可得），再求周長，可得定值．

試題解析：（1）由題意得

所以橢圓方程為

（2）由題意，設(shè)的方程為

與圓相切， ，即

由

設(shè)，則

又

，同理

（定值）