Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，點是上的一點，平面平面，，，，，.

（Ⅰ）若點是的中點，求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）通過已知條件先證明線線垂直，從而證明線面垂直，再利用面面垂直的判定定理，即可得證；

（Ⅱ）根據題意，將體積之比轉換成面積之比，利用三角形面積公式求出，的值，進而求出的面積，再利用等體積法轉換，即可得解.

（Ⅰ）證明：如圖，取的中點，連接.

因為，點是的中點，所以.

因為，，，所以，所以.

因為是等邊三角形，點是的中點，所以.

因為平面平面，平面，所以平面.

又因為平面，所以.

因為，平面，平面，

所以平面.

又因為平面，所以平面平面.

（Ⅱ）因為，，，，所以.

則，

解得，，點為的中點.

因為是等邊三角形，所以的高.

因為，所以.