Question

【題目】已知函數 ．

（1）當時，求的極值；

（2）當時，若函數恰有兩個不同的零點，求的值；

（3）當時，若的解集為 ，且 中有且僅有一個整數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極大值，極小值（2）（3）

【解析】

（1）把代入函數解析式，求導，由導數的符號確定函數的單調區間，從而求得函數的極值；

（2）當時，有唯一解，與題意不符，舍去；當時，求出導函數的零點或，結合，可得，由此求得的值；

（3）把的解集記為，且中有且僅有一個整數，可轉化為的解集中僅有一個整數，利用導數研究函數，最后求得結果.

（1）當時，，

，，

令，解得或，令，解得，

所以函數在上單調增，在上單調減，在上單調增，

所以函數的極大值，極小值；

（2）法一：，令，得或

因為函數有兩個不同的零點，所以或

當時，得，不合題意，舍去；

當時，代入得

即，所以

法二：由于，所以，

由，得

設，，令，得，

當時，，遞減；當時，，遞增.

當時，，單調遞增，

當時，的值域為.

故不論取何值，方程有且僅有一個根；

當時，，

所以時，方程恰有一個根-2，

此時函數恰有兩個零點-2和1

（3）當時，因為，所以，

設，則

當時，因為，所以在上遞增，且

所以在上，，不合題意；

當時，令，得

所以在遞增，在遞減，

所以

要使有解，首先要滿足，解得①

又因為，

要使的解集中只有一個整數，則

即，解得②

設，則

當時，，遞增；當時，，遞減，

所以，所以，

所以由①和②得：.