Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）記在上最大值為，若，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求導可得：，分類討論：

①當時，函數在上單調遞增；

②當時，函數的遞增區間有，，遞減區間有.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

①當時，；

②當即時，；

③當時，分類討論有：

當時，，∴；

當時，，∴.

據此可得若，則實數的取值范圍為.

試題解析：

（Ⅰ），

①當時，恒成立，此時函數在上單調遞增；

②當時，令，得，

∴時，；

時，，

∴函數的遞增區間有，，遞減區間有.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

①當時，函數在上單調遞增，此時；

②當即時，，∴在單調遞減，

∴，∵，∴，即；

③當時，，

而在，遞增，在上遞減，

∴ .

由，得，令，則，

∴，即 ，∴，∴.

∴當時，，∴；

當時，，∴.

綜合①②③得：若，則實數的取值范圍為.