Question

已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的內(nèi)切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，滿足向量與共線，與共
線，且，求的取值范圍.

Answer 1

(1);(2)

解析試題分析：本小題主要通過(guò)對(duì)直線與圓錐曲線中橢圓的綜合應(yīng)用的考查，具體涉及到橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)與圓錐曲線的綜合知識(shí)，提示考生對(duì)圓錐曲線的綜合題加以重視，本題主要考查考生的推理論證能力，運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.（1）利用方程思想和幾何性質(zhì)，得到含有的兩個(gè)等量關(guān)系，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求解橢圓方程；（2）通過(guò)直線與方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式將進(jìn)行表示為含有的函數(shù)關(guān)系式，利用換元法和二次函數(shù)求值域的思路尋求范圍.
試題解析：(1)由幾何性質(zhì)可知：當(dāng)內(nèi)切圓面積取最大值時(shí)，
即取最大值，且.
由得
又為定值，，
綜上得；
又由，可得，即，
經(jīng)計(jì)算得，，，
故橢圓方程為.                                                (5分)
(2) ①當(dāng)直線與中有一條直線垂直于軸時(shí)，.
②當(dāng)直線斜率存在但不為0時(shí)，設(shè)的方程為：，由消去
可得，代入弦長(zhǎng)公式得： ，
同理由消去可得，
代入弦長(zhǎng)公式得：，
所以
令，則，所以，
由①②可知，的取值范圍是.                     (12分)
考點(diǎn)：(1)橢圓方程；（2）直線與橢圓的位置關(guān)系；（3）函數(shù)的值域.