Question

已知橢圓的右焦點為 ，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且兩焦點和短軸的兩端構成邊長為的正方形.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在直線交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1） ；（2）.

解析試題分析：（1）利用正方形的性質，橢圓的性質；（2）由直線的方程于橢圓的方程組成方程組，消去，由及綜合求得.
試題解析：（1）由兩焦點與短軸的兩端點構成邊長為的正方形，則，，
所以橢圓方程為.            （4分）
（2）假設存在直線交橢圓于兩點，且使為的垂心，設，，
∵，，則，故直線的斜率，∴設直線的方程為，
由得，由題意知，即，      （7分）
且，，由題意應有，
而，，
故，                    （9分）
∴，
解得或，經檢驗，當時，不存在，故舍去，
∴當時，所求直線方程為滿足題意，
綜上所述，存在直線，且直線的方程為,             （14分）
考點：橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系.