Question

【題目】已知圓，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）根據橢圓的定義和性質，建立方程求出a，b即可了；

（2）聯立直線和橢圓方程，利用設而不求的思想表示，進而利用均值不等式求最值即可.

詳解：（1）∵點在線段的垂直平分線上，∴．

又，∴．

∴曲線是以坐標原點為中心，和為焦點，長軸長為的橢圓．

設曲線的方程為．

∵，∴．

∴曲線的方程為．

（2）設．

聯立消去，得．

此時有．

由一元二次方程根與系數的關系，得

，．

∴ ．

∵原點到直線的距離，

∴ ．

由，得．又，∴據基本不等式，得

．當且僅當時，不等式取等號．

∴面積的最大值為．