Question

已知對任意平面向量

AB

=（x，y），把

AB

繞其起點沿逆時針方向旋轉θ角得到向量

AP

=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點B繞點A逆時針旋轉θ角得到點P．設平面曲線C上的每一點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉

π

4

后得到的點的軌跡是曲線x²-y²=3，則原來的曲線C的方程為

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設平面內曲線C上的點P（x，y），根據把點B繞點A逆時針方向旋轉θ角得到點P的定義，可求出其繞原點沿逆時針方向旋轉

π

4

后得到點P′（

2

2

（x-y），

2

2

（x+y）），另由點P′在曲線x²-y²=3，代入該方程即可求得原來曲線C的方程．

解答： 解：設平面內曲線C上的點P（x，y），則其繞原點沿逆時針方向旋轉

π

4

后得到點P′（

2

2

（x-y），

2

2

（x+y）），
∵點P′在曲線x²-y²=3，
∴[（

2

2

（x-y）]²-[

2

2

（x+y）]²=3，
整理得xy=-

3

2

．
故答案為：xy=-

3

2

．

點評：本題考查向量在幾何中的應用以及圓錐曲線的軌跡問題，同時考查學生的閱讀能力和分析解決問題的能力以及計算能力．