Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2-a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足b_n=λa_n-a_n²，若n≥5時，b_n+1＜b_n恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設知a₁=1，a_n+S_n=2，a_n+1+S_n+1=2，兩式相減：a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n，

an+1

an

=

1

2

，n∈N+，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）先表示出b_n=λa_n-a_n²，進而可表示b_n+1-b_n，即λ＞3•(

1

2

)n，要使n≥5時，b_n+1＜b_n恒成立，即使λ＞3•(

1

2

)5，故可得實數λ的取值范圍．

解答：解：（1）∵n=1時，a₁+S₁=a₁+a₁=2，∴a₁=1，
∵S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2，兩式相減：a_n+1-a_n+a_n+1=0，
故有2a_n+1=a_n，∵a_n≠0，∴

an+1

an

=

1

2

，n∈N+
所以，數列{a_n}為首項a1=1，公比為

1

2

的等比數列，
∴an=(

1

2

)n-1
（2）b_n=λa_n-a_n²=λ•(

1

2

)n-1-(

1

4

)n-1
b_n+1-b_n=-λ•(

1

2

)n+3•(

1

4

)n
∵b_n+1＜b_n，∴λ＞3•(

1

2

)n
∵n≥5時，b_n+1＜b_n恒成立，
∴λ＞3•(

1

2

)5，∴λ＞

3

32

∴實數λ的取值范圍是(

3

32

，+∞)

點評：本題的考點是數列與不等式的綜合，主要考查迭代法求數列通項公式的方法，考查最值法解決恒成立問題，關鍵是寫出兩式，作差化簡，構建等比數列．